Einleitung - Exponentielles Wachstum
Wie schnell breiten sich Krankheiten aus?
Ein simples Modell zur Krankheitsausbreitung
Wie schnell sich eine Krankheit ausbreitet hängt selbstverständlich von der Art der Krankheit ab. Manche Infektionen verbreiten sich schneller als andere. Allerdings hängt die Zahl der Neuinfektionen auch von der Anzahl der aktuellen Krankheitsfälle ab: Im einfachsten Fall geht man davon aus, dass jeder Kranke innerhalb eines festen Zeitraums eine gewisse Anzahl an gesunden Menschen infiziert. Damit ist die Zahl der Neuinfektionen proportional zur Anzahl der Kranken.
Nehmen wir einmal an, dass jeder Kranke innerhalb von t Tagen 2 gesunde Menschen infiziert. Ist K die Anzahl der Kranken am Tag 0, dann ist am Tag t die Zahl der Neuinfektionen 2K und damit die Zahl der Kranken insgesamt K+2K=3K. Warten wir einen weiteren dieser Zeiträume ab, dann ist die Anzahl der Neuinfektionen 6K und die Zahl der Kranken zum Zeitpunkt 2t auf 3K+6K=9K gestiegen. Am Tag 3t haben wir schließlich 9K+18K=27K kranke Personen. Die Gesamtzahl der Kranken verdreifacht sich also immer nach t Tagen.
Definition exponentielles Wachstum
Wir sprechen von exponentiellem Wachstum, wenn sich eine Größe nach einem konstanten Zeitraum t um einen konstanten Faktor c vergrößert. Wenn wir die Anzahl der Kranken in Abhängigkeit von der Zeit als Funktion f auffassen, dann gilt
\[f(T+t)=cf(T)\]und damit
\[f(T+xt)=c^xf(T).\]Da wir bereits wissen, dass f(0)=K ist, können wir die Funktion auch etwas einfacher schreiben:
\[f(xt)=Kc^x \qquad\text{oder}\qquad f(x)=Kc^{\frac{x}{t}}.\]Die Verdopplungszeit
Eine wichtige Kenngröße bei exponentiellen Wachstumsprozessen ist die Verdopplungszeit (in der Biologie sagt man auch Generationszeit). Das ist der Zeitraum t, der zu dem Wachstumsfaktor c=2 gehört.
Aufgabe
Handelt es sich bei den Fallzahlen in Deutschland (bis zum 15. April) um exponentielles Wachstum? Falls ja, Kannst du die Verdopplungszeit schätzen? (Daten siehe vorherige Seite)
Wiederholung
Eine andere Art des Wachstums ist das lineare Wachstum, bei dem die Daten durch eine Geradengleichung beschrieben werden. Kennst du noch die Formel für eine Geradengleichung? Falls nicht, schau hier nach.
Weitere Informationen
Ein gutes Video zum Thema exponentielles Wachstum im Kontext von Pandemien findet man auf Youtube unter dem Link https://www.youtube.com/watch?v=Kas0tIxDvrg.
Die Erstellung dieses Kursmaterials wurde durch den Europäischen Sozialfonds im Rahmen des Projekts Schulentwicklung für mathematische Modellierung in MINT-Fächern (SchuMaMoMINT) finanziell gefördert.