SIR-Modelle
Wir modellieren Krankheitsausbreitung nach dem SIR-Modell, das die Gesamtbevölkerung in drei Gruppen unterteilt, nämlich in gesunde Menschen, die angesteckt werden können (susceptible), Menschen die infiziert sind (infected) und solche, bei denen die Krankheit (durch Genesung oder Tod) schon abgeschlossen ist (recovered / removed).
Die Grundprinzipien des Modells
Im SIR-Modell beschreiben wir die Bevölkerung, ähnlich wie in unserem ersten Modell, durch eine Zahl N. Ganz ähnlich wie im vorherirgen Abschnitt wird die Bevölkerung nun in verschiedene Gruppen aufgeteilt: gesunde, kranke und genesene Menschen. Im Gegensatz zum vorherigen Modell betrachten wir die Zeit allerdings nicht in Zeitschritten. Der Zeitparameter kann jetzt eine reelle Zahl sein. D.h. wir haben es mit einem kontinuierlichen Modell zu tun.
Nach dem SIR-Modell teilt man die Bevölkerung in drei Gruppen auf, die durch die Funktionen S, I und R beschrieben werden.
- S beschreibt den zeitlichen Verlauf der Anzahl an gesunden Menschen, die sich infizieren können (susceptible).
- I beschreibt des zeitlichen Verlauf der Anzahl an infizierten Menschen (infected)
- R beschreibt den zeitlichen Verlauf der Anzahl an Menschen, welche die Krankheit schon hinter sich haben (recovered oder removed). Dabei wird in aller Regel nicht unterschieden, ob die Menschen genesen oder an der Krankheit verstorben sind.
Für die Funktionen gilt zu allen Zeitpunkten t
\[N=S(t)+I(t)+R(t).\]Für das mathematische Modell brauchen wir noch ein paar zusätzliche Daten:
- Die Infektionsrate rinf: Diese sagt etwas darüber aus, wie viele Menschen ein Infizierter pro Zeiteinheit ansteckt. Pro Zeiteinheit werden dann S·I·rinf/N Menschen von S abgezogen und I hinzugefügt.
- Die Genesungsrate rgen: Diese sagt aus, wie schnell die Menschen wieder von der Krankheit genesen. Pro Zeiteinheit werden I·rgen Menschen von I abgezogen und R hinzugefügt.
- Die Startwerte: In unserem Modell ist die Gesamtpopulation N eine Konstante. Für die Werte R,I und S müssen die Startwerte für den Zeitpunkt t=0 festgelegt werden.
Aufgabe 1
Unten findest du eine Simulation eines solchen SIR-Modells, bei dem die Gleichungen mit Geogebra gelöst wurden. Hier sind folgende Dinge zu beachten:
- Die Gesamtpopulation beträgt 1 (das könnte man als 100% auffassen). Dementsprechend bewegen sich die Werte für S,I und R zwischen 0 und 1 (zwischen 0% und 100% der Gesamtbevölkerung).
- Die Startwerte werden mit Ia, Sa und Ra angegeben. Du kannst die zugehörigen Schieberegler verändern, um die Werte anzupassen.
- Auch rinf und rgen können durch Schieberegler verändert werden.
- Die Größe T gibt den maximalen Zeitpunkt an, bis zu dem die Prognose des SIR-Modells berechnet wird.
Teste verschiedene Einstellungen und beobachte, wie sich die Graphen verändern. Beschreibe in Worten, was sich verändert, wenn du
- rinf vergrößerst/verkleinerst
- rgen vergrößerst/verkleinerst
Aufgabe 2
Im Zusammenhang mit der COVID-19 Pandemie war der Begriff "flatten the curve" immer wieder in den Medien zu hören. Was ist damit gemeint und in welchem Zusammenhang steht diese Aussage mit den hier beobachteten Graphen? Falls du den Begriff nicht kennst, recherchiere ihn.
Die Erstellung dieses Kursmaterials wurde durch den Europäischen Sozialfonds im Rahmen des Projekts Schulentwicklung für mathematische Modellierung in MINT-Fächern (SchuMaMoMINT) finanziell gefördert.