Einleitung - Die erste mathematische Simulation
Wir entwickeln unser erstes mathematisches Modell zur Simulation von Krankheitsausbreitung.
Wachstum modellieren
Das erste Modell erarbeiten wir mit Excel oder einer vergleichbaren Software. In Beispielvideos wird erklärt, wie die Simulation aufgebaut wird, daher sind keine Vorkenntnisse im Arbeiten mit der Software erforderlich.
Wir bauen unsere Simulation in mehreren Schritten auf. Dazu werden die verschiedenen Bestandteile des Modells erläutert. Du kannst dir aus diesen Angaben die Tabellenelemente selbst erstellen, oder du verwendest die vorbereiteten Tabellen.
Schritt 1: exponentielles Wachstum
Im folgenden Video simulieren wir exponentielles Wachstum.
Die fertigen Tabellen
Hier findest du die fertigen Tabellen. Du kannst sie direkt verwenden oder deine eigene Lösung damit vergleichen.
Aufgabe
- Teste verschiedene Werte für t, K und N. Was fällt dir auf?
- Wie groß ist der Wachstumsfaktor für die Zahl der Infizierten von einem Tag zum nächsten? Drücke den Wert in einer Formel aus, die von den Parametern (t, K und N) abhängt, und als Zahl (für t=7, K=10, N=100000).
- Ist das Modell realistisch? Welche Dinge werden vernachlässigt?
Logistisches Wachstum
Je nachdem, wie die Parameter gewählt werden, kann die Zahl der Infizierten die Gesamtpopulation übersteigen. Das ist ein Anhaltspunkt dafür, dass unser Modell noch nicht vollständig ist.
Auch wenn das exponentielle Wachstum zahlreichen Wachstumsprozessen in der Natur zugrundeliegt, so gibt es doch kaum eine Situation in der Realität, bei der ein echtes exponentielles Wachstum tatsächlich erfolgt. Der Grund liegt darin, dass die Wachstumsgeschwindigkeit auch von anderen Faktoren beeinflusst wird, beispielsweise von den Ressourcen, die zur Verfügung stehen. Für Infektionskrankheiten stellen die gesunden Menschen die zugrundeliegende Ressource dar. Sind alle Menschen krank, dann kann niemand mehr infiziert werden.
Die Lösung besteht darin, dass die Anzahl der Neuinfektionen mit einem zusätzlichen Faktor multipliziert wird. Wir müssen nämlich berücksichtigen, dass die Personen, die am neuen Tag mit einem Infizierten in Kontakt kommen, möglicherweise selbst schon erkrankt sind. In diesem Fall kommt es natürlich nicht noch einmal zu einer Krankheitsübertragung. Daher multiplizieren wir die Zahl der Neuinfektionen noch einmal mit der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person noch gesund ist.
Das Schaubild, das man mit dieser Korrektur erhält, hat eine deutlich andere Struktur, da es nicht unbegrenzt wächst, sondern in der Nähe der Gesamtpopulation in einen gesättigten Bereich übergeht. Die Kurve, die dabei entsteht, nennt man logistische Kurve.
Schritt 2: logistisches Wachstum
Die fertigen Tabellen / Aufgabe
Hier findest du die Tabellen, in denen die Neuinfektionen bereits separiert worden sind. Die Neuinfektionen müssen aber noch mit dem Faktor multipliziert werden, der die Wahrscheinlichkeit angibt, dass eine Person noch gesund ist.
Krankheitsausbreitung mit Genesung
Ein weiteres Detail, das wir bisher nicht berücksichtigt haben, ist die Tatsache, dass Menschen auch wieder gesund werden und dann niemanden mehr anstecken können. Dazu kann man in unserem Modell eine weitere Spalte hinzufügen, welche die Anzahl der Personen angibt, welche die Krankheit bereits hinter sich haben. Je nach Krankheit kann man davon ausgehen, dass diese Leute nun immun gegen die Krankheit sind, oder aber nicht (bei COVID-19 geht man bisher davon aus, dass die Genesenen tatsächlich eine Immunität aufgebaut haben).
Schritt 3: mit Genesung
Aufgabe
Überleg dir selbst, wie du vorgehen kannst, um den Aspekt der Genesung mit in das Modell aufzunehmen. Zunächst solltest du dich für eine durchschnittliche Dauer der Krankheit entscheiden, anschließend müssen die Formeln unseres Modells angepasst werden. Experimentiere mit verschiedenen Werten und vergleiche den Verlauf mit den Resultaten aus dem vorherigen Modell.
Optional: Erweiterungen des Modells
Es gibt eine Vielzahl weiterer Elemente, die in das Modell einfließen können. Einige Aspekte haben wir hier aufgelistet, doch möglicherweise fällt dir selbst auch noch etwas ein.
- Bisher ist das Modell frei von zufälligen Ereignissen. Das führt dazu, dass die Ergebnisse bei jeder Wiederholung der Simulation gleich sind. Man kann jedoch auch den Zufall einbauen und beispielsweise die Anzahl der Neuinfektionen durch Zufallszahlen berechnen. Dabei hilft die Funktion ZUFALLSBEREICH(A,B), wobei A und B zwei ganze Zahlen sind.
- Wir können die Möglichkeit einer Impfung in das Modell aufmehmen.
- Man die Bevölkerung in verschiedene Kategorien unterteilen: Menschen mit vielen Kontakten pro Tag und Menschen mit wenigen Kontakten pro Tag.
- Das Verhalten der Menschen kann sich ändern: Sobald eine Person merkt, dass sie krank ist (das kann ein paar Tage dauern) wird üblicherweise die Anzahl ihrer Kontakte reduzieren.
Aufgabe
Erweitere das Modell um weitere Komponenten, die du für sinnvoll hältst.
Weitere Anregungen zur Modellierung mit Tabellenkalkulationsprogrammen
Falls du dich für mathematische Simulationen mit Tabellenkalkulationsprogrammen interessierst, kannst du dir folgenden Link anschauen: https://kluedo.ub.uni-kl.de/frontdoor/index/index/docId/5785
Die Erstellung dieses Kursmaterials wurde durch den Europäischen Sozialfonds im Rahmen des Projekts Schulentwicklung für mathematische Modellierung in MINT-Fächern (SchuMaMoMINT) finanziell gefördert.