Mathematische Modelle zur Krankheitsausbreitung

Definition zellulärer Automat

Zelluläre Automaten werden bei der Modellierung räumlicher dynamischer Systeme eingesetzt. Dabei wird die Zeit in diskrete Schritte zerlegt. Auch der Raum wird diskret modelliert, indem er in sogenannte Zellen (z.B. Quader oder, im 2D-Fall, Rechtecke) unterteilt wird.

Die Zellen können nun unterschiedliche Zustände annehmen. Die Zustände verändern sich mit voranschreitender Zeit und hängen in der Regel von den Zuständen der benachbarten Zellen ab.

Der zelluläre Automat im Krankheitsmodell

In unserem Modell ist die Welt ein Rechteck mit einer Art Schachbrettmuster. Die Felder dieses Schachbrettmusters werden als Zellen bezeichnet. Die Eigenschaften unseres Modells stecken in folgenden Parametern:

• Die Zeit verläuft in ganzzahligen Zeitschritten. Diese Schritte können jedoch unterschiedliche Einheiten repräsentieren (Minuten, Stunden, Tage, etc).
• Die Anzahl der rechteckigen Zellen in einer Zeile oder Spalte des Schachbrettmusters gibt uns die Länge und Breite der Welt an (diskretes Modell, d.h. Länge und Breite sind natürliche Zahlen).
• Die Personen in unserem Modell werden durch Zustände der Zellen realisiert. Beispielsweise können wir jeder Zelle vier Zustände ermöglichen:
  1. Die Zelle ist leer
  2. Es befindet sich eine gesunde Person in der Zelle
  3. Es befindet sich eine kranke Person in der Zelle
  4. Es befindet sich eine genesene Person in der Zelle
  In diesem Beispiel können sich niemals 2 oder mehr Personen in der selben Zelle befinden. Selbstverstänlich gibt es auch Modelle, in denen das möglich ist (man braucht dann mehr Zustände).
• In jedem Zeitschritt können sich die Personen durch ein Zufallsprinzip in der Welt bewegen. Die Bewegung wird mathematisch dadurch realisiert, dass im nächsten Zeitschritt die Zustände der Zellen verändert werden.
• Ähnlich wie die Bewegung modelliert man auch das Anstecken einer gesunden Person. Unter gewissen Umständen besteht die Gefahr, dass eine gesunde Person erkrankt. Dabei wird der Zustand der zugehörigen Zelle von gesund auf krank verändert.
• Kranke Personen können mit voranschreitender Zeit wieder gesund werden. Auch hier wird einfach der Zustand der Zelle von krank auf genesen verändert.

Ein minimalistisches Beispiel: Eine Person wandert durch die Welt

In der ersten Simulation betrachten wir noch keine Krankheit. Wir verdeutlichen lediglich, wie sich eine Person durch die Welt bewegt. Die Simulation wurde in Python programmiert. Du kannst sie starten, indem du den Button "Run" drückst.